A velocidade de um objeto em queda com massa e coeficiente re resistência do ar pode ser modelada pela equação
Suponha que . Determine a velocidade do objeto em cada instante de tempo. Descreva a distância percorrida pelo corpo passados segundos. Supondo que o objeto inicia a queda de uma altura de 300 m , obtenha uma aproximação para o tempo que ele levará para atingir o chão e uma apróximação para a velocidade do objeto no momento do impacto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física que envolve um pouco de cálculo, especificamente equações diferenciais. A gente tem um objeto de 10 kg caindo com resistência do ar, e a velocidade dele está sendo descrita por uma equação diferencial. Vamos precisar resolver essa equação para encontrar a velocidade em função do tempo, a distância percorrida e estimar o tempo e a velocidade quando ele atinge o chão de 300 metros.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial que descreve a velocidade:
Essa equação diz como a velocidade do objeto muda com o tempo. O termo 9,8 representa a aceleração da gravidade (em m/s²) e é a resistência do ar que depende da velocidade.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar . Essa é uma equação linear de primeira ordem e pode ser resolvida usando o fator integrante. A equação geral é:
Onde e .

Passo 4

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é:
Multiplicamos toda a equação diferencial por :

Passo 5

Agora, o lado esquerdo da equação é a derivada do produto . Então, podemos escrever:
Integrando ambos os lados em relação a :

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Então:

Passo 7

Dividindo ambos os lados por :
Agora, aplicamos a condição inicial :

Passo 8

Então a expressão para a velocidade em função do tempo é:

Passo 9

Agora, para encontrar a distância percorrida, precisamos integrar :

Passo 10

Calculando a integral:
Como (o objeto começa a cair do repouso),
Portanto,

Passo 11

Agora, precisamos encontrar o tempo em que o objeto atinge o chão, ou seja, quando metros. Então:
Vamos resolver essa equação numericamente, já que não tem solução analítica fácil.

Passo 12

Rescrevendo a equação:
Isso é um pouco complicado para resolver manualmente, então vamos usar uma aproximação iterativa ou uma calculadora.

Passo 13

Usando uma calculadora ou método numérico, encontramos que está aproximadamente entre 10 e 12 segundos. Refinando os cálculos, obtemos segundos.

Passo 14

Por fim, para encontrar a velocidade no momento do impacto, substituímos s na expressão de :

Resposta

A velocidade do objeto em função do tempo é m/s, a distância percorrida é metros. O objeto leva aproximadamente 11 segundos para atingir o chão, com uma velocidade de impacto de cerca de 43,6 m/s.

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