A velocidade
de um objeto em queda com massa
e coeficiente re resistência do ar
pode ser modelada pela equação
Suponha que
. Determine a velocidade do objeto em cada instante de tempo. Descreva a distância
percorrida pelo corpo passados
segundos. Supondo que o objeto inicia a queda de uma altura de 300 m , obtenha uma aproximação para o tempo que ele levará para atingir o chão e uma apróximação para a velocidade do objeto no momento do impacto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física que envolve um pouco de cálculo, especificamente equações diferenciais. A gente tem um objeto de 10 kg caindo com resistência do ar, e a velocidade dele está sendo descrita por uma equação diferencial. Vamos precisar resolver essa equação para encontrar a velocidade em função do tempo, a distância percorrida e estimar o tempo e a velocidade quando ele atinge o chão de 300 metros.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial que descreve a velocidade:
Essa equação diz como a velocidade do objeto muda com o tempo. O termo 9,8 representa a aceleração da gravidade (em m/s²) e
é a resistência do ar que depende da velocidade.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar
. Essa é uma equação linear de primeira ordem e pode ser resolvida usando o fator integrante. A equação geral é:
Onde
e
.
Passo 4
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é:
Multiplicamos toda a equação diferencial por
:
Passo 5
Agora, o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
. Então, podemos escrever:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Então:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Passo 8
Então a expressão para a velocidade em função do tempo é:
Passo 9
Agora, para encontrar a distância
percorrida, precisamos integrar
:
Passo 10
Calculando a integral:
Como
(o objeto começa a cair do repouso),
Portanto,
Passo 11
Agora, precisamos encontrar o tempo
em que o objeto atinge o chão, ou seja, quando
metros. Então:
Vamos resolver essa equação numericamente, já que não tem solução analítica fácil.
Passo 12
Rescrevendo a equação:
Isso é um pouco complicado para resolver manualmente, então vamos usar uma aproximação iterativa ou uma calculadora.
Passo 13
Usando uma calculadora ou método numérico, encontramos que
está aproximadamente entre 10 e 12 segundos. Refinando os cálculos, obtemos
segundos.
Passo 14
Por fim, para encontrar a velocidade no momento do impacto, substituímos
s na expressão de
:
Resposta
A velocidade do objeto em função do tempo é
m/s, a distância percorrida é
metros. O objeto leva aproximadamente 11 segundos para atingir o chão, com uma velocidade de impacto de cerca de 43,6 m/s.
Exercícios relacionados
Usando a substituição, calcule as integrais.
Resolva os problemas de valor inicial.
Usando a substituição, calcule as integrais.
Usando a substituição, calcule as integrais.