Resolva as equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. A gente vai lidar com equações diferenciais de segunda ordem e coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea e depois uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Para isso, a gente monta a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os valores de
:
Então, as soluções são
e
. Isso nos dá a solução geral da equação homogênea:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Observamos que o termo
já está presente na solução homogênea, então precisamos multiplicar por
para evitar duplicação. Portanto, assumimos a forma:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos:
Comparando os coeficientes:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva as equações:
Resolva as equações:
Calcule a integral de linha do campo vetorial
ao longo do caminho descrito.
de
a
pelo segmento de reta ligando esses dois pontos.
Resolva os problemas de valor inicial: