Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial com condições iniciais. A gente precisa lidar com uma equação do tipo diferencial de segunda ordem, que envolve derivadas de
em relação ao tempo
. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e aplicar as condições iniciais para achar os constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação a
, e
é a primeira derivada. A parte da direita,
, é o termo não homogêneo.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos dividir em duas partes: a solução da equação homogênea (quando igualamos a zero) e uma solução particular que considera o termo não homogêneo.
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
Passo 4
Vamos encontrar a solução da equação homogênea. Para isso, usamos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Como temos raízes repetidas (
duas vezes), a solução geral da homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 5
Agora, encontramos uma solução particular
para a equação completa. Como o termo não homogêneo é
, tentamos uma solução do tipo:
Derivando:
Passo 6
Substituímos
,
e
na equação original:
Isso dá:
Passo 7
Igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 8
Então, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 10
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Passo 11
Segunda condição:
Primeiro, derivamos
:
Avaliando em
:
Resposta
A solução do problema é:
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Calcule as integrais
Determine o fluxo de
através de
. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
c) , S é a esfera
.
c)
Verifique se a função é par ou ímpar.
c)
c)
Resolva as equações exponenciais:
f)
f)