Resolva os problemas de valor inicial: { x'' + 6 x' + 9 x = t + 2 x(0) = 0, x'(0) = 0 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial com condições iniciais. A gente precisa lidar com uma equação do tipo diferencial de segunda ordem, que envolve derivadas de em relação ao tempo . Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e aplicar as condições iniciais para achar os constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Aqui, é a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada. A parte da direita, , é o termo não homogêneo.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos dividir em duas partes: a solução da equação homogênea (quando igualamos a zero) e uma solução particular que considera o termo não homogêneo.
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:

Passo 4

Vamos encontrar a solução da equação homogênea. Para isso, usamos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Como temos raízes repetidas ( duas vezes), a solução geral da homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Agora, encontramos uma solução particular para a equação completa. Como o termo não homogêneo é , tentamos uma solução do tipo:
Derivando:

Passo 6

Substituímos , e na equação original:
Isso dá:

Passo 7

Igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para :
Para o termo constante:

Passo 8

Então, a solução particular é:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 10

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:

Passo 11

Segunda condição:
Primeiro, derivamos :
Avaliando em :

Resposta

A solução do problema é:

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