Determine o fluxo de
através de
. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
c)
, S é a esfera
.
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é uma esfera dada por
. Vamos usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a calcular o fluxo através de superfícies fechadas de maneira mais fácil.
Passo 2
O Teorema da Divergência nos diz que o fluxo de
através de
é igual ao integral triplo da divergência de
sobre o volume
delimitado por
. Matemáticamente, isso é expresso como:
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Para
, temos:
Passo 4
Agora que sabemos que
, precisamos calcular o volume da esfera
. A equação da esfera é
, onde
. Portanto, o raio
da esfera é:
O volume de uma esfera é dado por:
Passo 5
Substituindo
na fórmula do volume:
Calculando
:
Simplificando:
Portanto:
Passo 6
Agora, substituímos
na fórmula do volume:
Passo 7
Finalmente, aplicamos o Teorema da Divergência para encontrar o fluxo:
Resposta
O fluxo de
através de
é
.
Exercícios relacionados
Resolva as equações:
Determine a área da superfície.
c) A superfície com equações paramétricas ,
.
c) A superfície com equações paramétricas
Calcule as integrais
Resolva os problemas de valor inicial: