Determine o fluxo de F através de S. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
c) F(x, y, z) = x i + y j + z k, S é a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9.108 * pi.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é uma esfera dada por . Vamos usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a calcular o fluxo através de superfícies fechadas de maneira mais fácil.

Passo 2

O Teorema da Divergência nos diz que o fluxo de através de é igual ao integral triplo da divergência de sobre o volume delimitado por . Matemáticamente, isso é expresso como:

Passo 3

Vamos calcular a divergência de . A divergência é dada por:
Para , temos:

Passo 4

Agora que sabemos que , precisamos calcular o volume da esfera . A equação da esfera é , onde . Portanto, o raio da esfera é:
O volume de uma esfera é dado por:

Passo 5

Substituindo na fórmula do volume:
Calculando :
Simplificando:
Portanto:

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula do volume:

Passo 7

Finalmente, aplicamos o Teorema da Divergência para encontrar o fluxo:

Resposta

O fluxo de através de é .

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