Calcule as integrais
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de
. Esse tipo de integral envolve potências de seno e cosseno, então vamos usar técnicas de integração que lidam com funções trigonométricas elevadas a potências. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e talvez uma substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que o expoente de cosseno é ímpar (
). Quando temos uma potência ímpar de cosseno (ou seno), uma estratégia é separar um fator de cosseno e converter o restante usando a identidade
. Vamos fazer isso.
Passo 3
Vamos reescrever a integral separando um cosseno:
Agora, usamos a identidade
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Aqui, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar
. Então,
. Observa que temos
na integral, que é exatamente
.
Passo 6
Substituindo na integral:
Agora, essa integral é mais simples e podemos resolver termo a termo.
Passo 7
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, substituímos
de volta por
:
Resposta
A integral
é igual a
Exercícios relacionados
Determine o fluxo de
através de
. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
c) , S é a esfera
.
c)
Resolva as equações:
Resolva os problemas de valor inicial:
Verifique se a função é par ou ímpar.
c)
c)