Calcule as integrais
integral cos ^3(x) sen^6(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de cos^3(x) cdot sin^6(x) , dx. Esse tipo de integral envolve potências de seno e cosseno, então vamos usar técnicas de integração que lidam com funções trigonométricas elevadas a potências. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e talvez uma substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que o expoente de cosseno é ímpar ( cos^3(x)). Quando temos uma potência ímpar de cosseno (ou seno), uma estratégia é separar um fator de cosseno e converter o restante usando a identidade sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Vamos fazer isso.

Passo 3

Vamos reescrever a integral separando um cosseno:
integral cos^3(x) cdot sin^6(x) , dx = integral cos^2(x) cdot sin^6(x) cdot cos(x) , dx
Agora, usamos a identidade cos^2(x) = 1 - sin^2(x):
= integral (1 - sin^2(x)) cdot sin^6(x) cdot cos(x) , dx

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(1 - sin^2(x)) cdot sin^6(x) = sin^6(x) - sin^8(x)
Então, a integral fica:
integral (sin^6(x) - sin^8(x)) cdot cos(x) , dx

Passo 5

Aqui, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar u = sin(x). Então, du = cos(x) , dx. Observa que temos cos(x) , dx na integral, que é exatamente du.

Passo 6

Substituindo na integral:
integral (sin^6(x) - sin^8(x)) cdot cos(x) , dx = integral (u^6 - u^8) , du
Agora, essa integral é mais simples e podemos resolver termo a termo.

Passo 7

Integrando termo a termo:
integral u^6 , du - integral u^8 , du = u^77 - u^99 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Agora, substituímos u de volta por sin(x):
sin^7(x)7 - sin^9(x)9 + C

Resposta

A integral integral cos^3(x) cdot sin^6(x) , dx é igual a
sin^7(x)7 - sin^9(x)9 + C

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