Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é , onde é uma função que muda dependendo do valor de . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais e funções por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de é , e temos as seguintes propriedades para as derivadas:
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as propriedades:
Passo 3
Agora, vamos substituir as condições iniciais e na equação:
Simplificando:
Passo 4
Vamos agrupar os termos que envolvem :
Isolando :
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de , que é uma função por partes:
Podemos expressar usando a função degrau unitário :
A Transformada de Laplace de é , então:
Passo 6
Substituindo na expressão de :
Vamos simplificar o denominador . Podemos completá-lo para:
Passo 7
Agora, vamos separar em partes que podemos inverter facilmente:
Reconhecemos que corresponde à Transformada de Laplace de . As outras frações envolvem termos atrasados, que também podemos inverter usando as propriedades da Transformada de Laplace.
Passo 8
Finalmente, aplicando a Transformada de Laplace inversa a cada termo:
Resposta
A solução da equação é
onde é a função degrau unitário que “liga” os termos a partir de .