Resolva os problemas de valor inicial nos próximos exercícios.
a) dy/dx = 1/x^2 + x, x > 0 ; y(2) = 1
Resposta: C = -1/2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de equação diferencial onde a derivada de em relação a é igual a para , e sabe que quando , . O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar integrar a expressão dada e usar a condição inicial para encontrar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
O objetivo é encontrar em função de . Para isso, vamos integrar ambos os lados em relação a .

Passo 3

Integrando o lado direito:
A integral do lado esquerdo é simplesmente :

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente:
Então, juntando as duas partes:
Aqui, é a constante de integração geral.

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:
Calculando:
Resolvendo para :

Resposta

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