Resolva os problemas de valor inicial nos próximos exercícios.
e) y^(4) = -cos(x) + 8 sen(2x), y'''(0) = 0, y''(0) = y'(0) = 1, y(0) = 3
Resposta: C1=4, C2=0, C3=0 e C4 = 4

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de quarta ordem:
E as condições iniciais são:
Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial para encontrar a função que satisfaz todas essas condições. Para isso, vamos integrar a equação passo a passo e usar as condições iniciais para encontrar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a equação diferencial para encontrar . A equação dada é:
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Calculando as integrais:

Passo 3

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar :
Resolvendo para :

Passo 4

Com , a expressão para fica:
Agora, vamos integrar novamente para encontrar :
Calculando as integrais:

Passo 5

Usando a condição inicial , encontramos :
Logo,

Passo 6

Com , temos:
Vamos integrar novamente para encontrar :
Calculando as integrais:

Passo 7

Aplicando a condição inicial :
Portanto,

Passo 8

Com , a expressão para é:
Vamos integrar mais uma vez para encontrar :
Calculando as integrais:

Passo 9

Finalmente, usamos a condição inicial para determinar :
Então,

Resposta

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