Resolva os problemas de valor inicial nos próximos exercícios.
e)
Resposta:
e
e)
Resposta:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de quarta ordem:
E as condições iniciais são:
Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial para encontrar a função
que satisfaz todas essas condições. Para isso, vamos integrar a equação passo a passo e usar as condições iniciais para encontrar as constantes de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a equação diferencial para encontrar
. A equação dada é:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Calculando as integrais:
Passo 3
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar
:
Resolvendo para
:
Passo 4
Com
, a expressão para
fica:
Agora, vamos integrar novamente para encontrar
:
Calculando as integrais:
Passo 5
Usando a condição inicial
, encontramos
:
Logo,
Passo 6
Com
, temos:
Vamos integrar novamente para encontrar
:
Calculando as integrais:
Passo 7
Aplicando a condição inicial
:
Portanto,
Passo 8
Com
, a expressão para
é:
Vamos integrar mais uma vez para encontrar
:
Calculando as integrais:
Passo 9
Finalmente, usamos a condição inicial
para determinar
:
Então,