Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a transformada de Laplace! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
com condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar conhecer a transformada de Laplace de funções e como aplicá-la em equações diferenciais. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Como e , a transformada se simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos calcular a transformada de Laplace do lado direito. Sabemos que:
No nosso caso, e , então:
E sabemos que , então:
Passo 4
Voltando à nossa equação transformada:
Podemos fatorar :
Então, isolando :
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace para obter . Lembrando que: