Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a transformada de Laplace! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
com condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar conhecer a transformada de Laplace de funções e como aplicá-la em equações diferenciais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Como e , a transformada se simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace do lado direito. Sabemos que:
No nosso caso, e , então:
E sabemos que , então:

Passo 4

Voltando à nossa equação transformada:
Podemos fatorar :
Então, isolando :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace para obter . Lembrando que:
No nosso caso, , então:
E sabemos que:
onde é a função degrau de Heaviside.

Passo 6

Aplicando isso, temos:
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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