Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a transformada de Laplace! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
com condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a transformada de Laplace de funções e como aplicá-la em equações diferenciais. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Como
e
, a transformada se simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos calcular a transformada de Laplace do lado direito. Sabemos que:
No nosso caso,
e
, então:
E sabemos que
, então:
Passo 4
Voltando à nossa equação transformada:
Podemos fatorar
:
Então, isolando
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace para obter
. Lembrando que:
No nosso caso,
, então:
E sabemos que:
onde
é a função degrau de Heaviside.
Passo 6
Aplicando isso, temos:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é: