Resolva os sistemas por meio da transformada de Laplace:
y'' + z + y = t z' + y' = 2 y(0) = 0, y'(0) = 0, z(0) = -1
1/2

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. O sistema que temos é:
Para resolver esse sistema, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace em cada equação, usar as condições iniciais fornecidas e depois resolver o sistema algébrico resultante para encontrar as transformadas das funções e . Por fim, aplicaremos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar as soluções no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo das equações. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Onde é a transformada de .
Aplicando isso à primeira equação :
Substituindo as transformadas:
Usando as condições iniciais e :

Passo 3

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace na segunda equação :
Substituindo as transformadas:
Usando as condições iniciais e :

Passo 4

Agora temos um sistema de equações algébricas em e :
Vamos simplificar a primeira equação:
Da segunda equação:
Podemos resolver esse sistema para e . Primeiro, isolamos na primeira equação:
Substituímos na segunda equação:
Simplificando:
Os termos se cancelam:
Isolando :
Multiplicando ambos os lados por -1:
Agora, encontramos . Para encontrar , usamos a expressão que obtivemos anteriormente:
Expandindo:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar e .
Para :
Para :

Resposta

As soluções do sistema são:

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