Resolva os sistemas por meio da transformada de Laplace: 1/2
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. O sistema que temos é:
Para resolver esse sistema, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace em cada equação, usar as condições iniciais fornecidas e depois resolver o sistema algébrico resultante para encontrar as transformadas das funções e . Por fim, aplicaremos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar as soluções no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo das equações. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Onde é a transformada de .
Aplicando isso à primeira equação :
Substituindo as transformadas:
Usando as condições iniciais e :
Passo 3
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace na segunda equação :
Substituindo as transformadas:
Usando as condições iniciais e :
Passo 4
Agora temos um sistema de equações algébricas em e :
Vamos simplificar a primeira equação:
Da segunda equação:
Podemos resolver esse sistema para e . Primeiro, isolamos na primeira equação:
Substituímos na segunda equação:
Simplificando:
Os termos se cancelam:
Isolando :
Multiplicando ambos os lados por -1:
Agora, encontramos . Para encontrar , usamos a expressão que obtivemos anteriormente:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar e .