Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse problema de valor inicial usando a transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais, e vamos precisar usar as propriedades da transformada de Laplace para resolver. Vamos precisar lembrar como transformar derivadas, lidar com funções como , e também como tratar funções que começam em um certo instante, como a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é:
Dado que
e
, essas expressões simplificam.
Aplicando a transformada de Laplace na equação:
Isso resulta em:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular . Para isso, usamos a propriedade de deslocamento no tempo:
onde
é a transformada de
.
No nosso caso,
e , então:
Passo 4
Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Vamos decompor em frações parciais para facilitar a inversão da transformada. Primeiro, consideramos:
Resolvendo para
,
,
e
, encontramos:
Então:
Passo 6
Agora, voltamos à expressão de
:
Aplicando a transformada inversa de Laplace, lembrando que:
E usando a propriedade de deslocamento para o termo com
:
Então, temos:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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