Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse problema de valor inicial usando a transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais, e vamos precisar usar as propriedades da transformada de Laplace para resolver. Vamos precisar lembrar como transformar derivadas, lidar com funções como , e também como tratar funções que começam em um certo instante, como a função .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é:
Dado que e , essas expressões simplificam.
Aplicando a transformada de Laplace na equação:
Isso resulta em:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular . Para isso, usamos a propriedade de deslocamento no tempo:
onde é a transformada de .
No nosso caso, e , então:

Passo 4

Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos :

Passo 5

Vamos decompor em frações parciais para facilitar a inversão da transformada. Primeiro, consideramos:
Resolvendo para , , e , encontramos:
Então:

Passo 6

Agora, voltamos à expressão de :
Aplicando a transformada inversa de Laplace, lembrando que:
E usando a propriedade de deslocamento para o termo com :
Então, temos:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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