Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial onde precisamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Vou usar a transformada de Laplace para resolver isso. Para isso, a gente vai precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e como lidar com a função degrau unitário .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de é e a transformada de é simplesmente . Já a transformada de é . Então, aplicando a transformada:

Passo 3

Substituindo as condições iniciais e na equação:
Simplificando:

Passo 4

Agora, isolamos :

Passo 5

Vamos separar os termos para facilitar a inversão da transformada:
Sabemos que é a transformada de e que corresponde a um termo relacionado ao degrau unitário.

Passo 6

Fazendo a inversa da transformada de Laplace:
Aqui, usamos o teorema da transformada de Laplace para função retardada, que diz que .

Passo 7

Simplificando a expressão final:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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