Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial onde precisamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Vou usar a transformada de Laplace para resolver isso. Para isso, a gente vai precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e como lidar com a função degrau unitário
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de
é
e a transformada de
é simplesmente
. Já a transformada de
é
. Então, aplicando a transformada:
Passo 3
Substituindo as condições iniciais
e
na equação:
Simplificando:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Passo 5
Vamos separar os termos para facilitar a inversão da transformada:
Sabemos que
é a transformada de
e que
corresponde a um termo relacionado ao degrau unitário.
Passo 6
Fazendo a inversa da transformada de Laplace:
Aqui, usamos o teorema da transformada de Laplace para função retardada, que diz que
.
Passo 7
Simplificando a expressão final:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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