Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace
y'' + 5y' - 3y = u4(t), y(0) = y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a transformada de Laplace! A equação que temos é uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e . Vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e usar as propriedades das funções de degrau, como .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de é , e como e , isso simplifica para .
Aplicando isso na equação:

Passo 3

Agora, vamos tratar o lado direito, que é a transformada de Laplace de . Sabemos que a transformada de é:
Portanto, para :

Passo 4

Substituindo de volta na equação transformada:
Vamos fatorar no lado esquerdo:

Passo 5

Agora, isolamos :
Para facilitar a inversão, vamos fatorar o denominador quadrático. Calculando as raízes da equação :
Então, podemos escrever:
onde e .

Passo 6

Agora, vamos decompor em frações parciais:
Resolvendo para A, B e C, obtemos:

Passo 7

Substituindo de volta em :
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Sabemos que:

Passo 8

Aplicando a transformada inversa, temos:
Substituindo os valores de A, B e C, chegamos à solução completa.

Resposta

A solução da equação diferencial é

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