Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a transformada de Laplace! A equação que temos é uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. Vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e usar as propriedades das funções de degrau, como
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de
é
, e como
e
, isso simplifica para
.
Aplicando isso na equação:
Passo 3
Agora, vamos tratar o lado direito, que é a transformada de Laplace de
. Sabemos que a transformada de
é:
Portanto, para
:
Passo 4
Substituindo de volta na equação transformada:
Vamos fatorar
no lado esquerdo:
Passo 5
Agora, isolamos
:
Para facilitar a inversão, vamos fatorar o denominador quadrático. Calculando as raízes da equação
:
Então, podemos escrever:
onde
e
.
Passo 6
Agora, vamos decompor em frações parciais:
Resolvendo para A, B e C, obtemos:
Passo 7
Substituindo de volta em
:
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Sabemos que:
Passo 8
Aplicando a transformada inversa, temos:
Substituindo os valores de A, B e C, chegamos à solução completa.
Resposta
A solução da equação diferencial é