Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace
y'' - y = e^1, y(0) = 1, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando a transformada de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre transformadas de Laplace, que ajudam a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de é:
E a transformada de é:
Aplicando isso na nossa equação:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação. Sabemos que:
No nosso caso, , então:
Substituindo isso na equação:

Passo 4

Vamos reorganizar os termos para isolar :
Agora, vamos resolver para :

Passo 5

Para simplificar , vamos fazer frações parciais. Observando que , temos:
Vamos decompor cada termo:
Para o primeiro termo:
Resolvendo, encontramos e .
Para o segundo termo:
Resolvendo, encontramos , e .

Passo 6

Substituindo de volta, temos:
Simplificando:

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar :

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial é:

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