Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando a transformada de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre transformadas de Laplace, que ajudam a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de
é:
E a transformada de
é:
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a equação. Sabemos que:
No nosso caso,
, então:
Substituindo isso na equação:
Passo 4
Vamos reorganizar os termos para isolar
:
Agora, vamos resolver para
:
Passo 5
Para simplificar
, vamos fazer frações parciais. Observando que
, temos:
Vamos decompor cada termo:
Para o primeiro termo:
Resolvendo, encontramos
e
.
Para o segundo termo:
Resolvendo, encontramos
,
e
.
Passo 6
Substituindo de volta, temos:
Simplificando:
Passo 7
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar
:
Resposta
Portanto, a solução da equação diferencial é: