Resolva os problemas de valores de contorno abaixo:
.
Passo 1
Então, vamos lá! O problema pede para a gente resolver uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação é
e a condição inicial é
. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que ajuda a separar os termos com
dos termos com
para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de um jeito que possamos separar
e
. Começamos multiplicando ambos os lados por
:
Agora, temos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar as funções que, quando derivadas, nos dão os lados da equação diferencial.
Do lado esquerdo, temos:
Do lado direito, temos:
Passo 4
Vamos juntar as integrais e simplificar. Subtraímos
de ambos os lados para combinar as constantes:
Onde
é uma constante geral.
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Passo 6
Com
, nossa equação fica:
Essa é a solução da equação diferencial dada, representada de forma implícita.
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial
é:
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valores de contorno abaixo:
.
Considere a função
.
Encontrar o domínio e os pontos de interseç̧ão com os cixos
e
.
Encontrar o domínio
Considere a função
.
Encontrar os pontos críticos, caso existam. Justifique sua resposta.
Encontrar os pontos críticos, caso existam. Justifique sua resposta.
Resolva os problemas de valores de contorno abaixo:
.