Resolva os problemas de valores de contorno abaixo: .

Passo 1

Então, vamos lá! O problema pede para a gente resolver uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação é e a condição inicial é . Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que ajuda a separar os termos com dos termos com para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de um jeito que possamos separar e . Começamos multiplicando ambos os lados por :
Agora, temos todos os termos com de um lado e os termos com do outro.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar as funções que, quando derivadas, nos dão os lados da equação diferencial.
Do lado esquerdo, temos:
Do lado direito, temos:

Passo 4

Vamos juntar as integrais e simplificar. Subtraímos de ambos os lados para combinar as constantes:
Onde é uma constante geral.

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:

Passo 6

Com , nossa equação fica:
Essa é a solução da equação diferencial dada, representada de forma implícita.

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial é:

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Resolva os problemas de valores de contorno abaixo: .
Considere a função .
Encontrar o domínio e os pontos de interseç̧ão com os cixos e .
Considere a função .
Encontrar os pontos críticos, caso existam. Justifique sua resposta.
Resolva os problemas de valores de contorno abaixo: .