Resolva os problemas de valores de contorno abaixo: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valores de contorno juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo primeira ordem:
E a condição de contorno é . Para resolver, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais, especificamente separação de variáveis ou métodos que nos ajudem a simplificar essa equação. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para isolar . A equação dada é:
Vamos subtrair de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por para isolar :

Passo 3

Simplificando a expressão para :
Lembrando que , então . Substituindo:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, temos a equação diferencial:
Vamos reescrever isso em termos de derivadas para facilitar a separação de variáveis:
Podemos separar as variáveis e multiplicando ambos os lados por e dividindo por :

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Simplificando a integral do lado esquerdo. Sabemos que:
Então:

Passo 6

Vamos resolver as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Juntando as duas partes:
Onde .

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
Podemos reescrever como :
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma constante.

Passo 8

Agora, usamos a condição de contorno para encontrar . Sabemos que :
Então, .

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição de contorno é:
Ou, isolando :

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Considere a função .
Encontrar os pontos críticos, caso existam. Justifique sua resposta.
Resolva os problemas de valores de contorno abaixo: .