Resolva os problemas de valores de contorno abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valores de contorno juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo primeira ordem:
E a condição de contorno é
. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais, especificamente separação de variáveis ou métodos que nos ajudem a simplificar essa equação. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para isolar
. A equação dada é:
Vamos subtrair
de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 3
Simplificando a expressão para
:
Lembrando que
, então
. Substituindo:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, temos a equação diferencial:
Vamos reescrever isso em termos de derivadas para facilitar a separação de variáveis:
Podemos separar as variáveis
e
multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Simplificando a integral do lado esquerdo. Sabemos que:
Então:
Passo 6
Vamos resolver as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Juntando as duas partes:
Onde
.
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Podemos reescrever
como
:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde
é uma constante.
Passo 8
Agora, usamos a condição de contorno para encontrar
. Sabemos que
:
Então,
.
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição de contorno
é:
Ou, isolando
:
Exercícios relacionados
Considere a função
.
Encontrar os pontos críticos, caso existam. Justifique sua resposta.
Encontrar os pontos críticos, caso existam. Justifique sua resposta.
Resolva os problemas de valores de contorno abaixo:
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