Resolva os PVI©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. A equação dada é:
E a condição inicial é
. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão:
No nosso caso, temos:
Isso nos ajuda a identificar os componentes que vão ser usados para encontrar o fator integrante.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
Substituindo
:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em uma forma que pode ser integrada diretamente.
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Então, podemos reescrever a equação como:
Integrando ambos os lados:
Fazendo a substituição
, temos , então:
Portanto:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Resolva os PVI(b)
Determine se a EDO dada é exata. Se for exata, resolva-a.
© ;
©
Sejam
e
duas soluções da EDO linear de primeira ordem
0 . Prove que qualquer combinação linear
também é solução da EDO.
Determine se a EDO dada é exata. Se for exata, resolva-a.
(e) ;
(e)