Resolva os PVI©

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. A equação dada é:
E a condição inicial é . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão:
No nosso caso, temos:
Isso nos ajuda a identificar os componentes que vão ser usados para encontrar o fator integrante.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
Substituindo :
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em uma forma que pode ser integrada diretamente.

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Então, podemos reescrever a equação como:
Integrando ambos os lados:
Fazendo a substituição , temos , então:
Portanto:

Passo 6

Agora, isolamos :
Usamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A solução do PVI é:

Exercícios relacionados

Resolva os PVI(b)
Determine se a EDO dada é exata. Se for exata, resolva-a.
© ;
Sejam e duas soluções da EDO linear de primeira ordem 0 . Prove que qualquer combinação linear também é solução da EDO.
Determine se a EDO dada é exata. Se for exata, resolva-a.
(e) ;