Resolva os PVI© y' - sen(x) y = 2 sen(x), y(pi / 2) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. A equação dada é:
E a condição inicial é . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão:
No nosso caso, temos:
Isso nos ajuda a identificar os componentes que vão ser usados para encontrar o fator integrante.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
Substituindo :
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em uma forma que pode ser integrada diretamente.

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Então, podemos reescrever a equação como:
Integrando ambos os lados:
Fazendo a substituição , temos , então:
Portanto:

Passo 6

Agora, isolamos :
Usamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A solução do PVI é:

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