Determine se a EDO dada é exata. Se for exata, resolva-a.
(e)
;
(e)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) e precisamos determinar se ela é exata. Se for, vamos resolvê-la. Para isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e seguir alguns passos para verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando
e
na equação. A equação dada é:
Aqui, temos:
Passo 3
Para verificar se a EDO é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e ver se elas são iguais. Se forem, a equação é exata.
Vamos calcular
:
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Comparando as derivadas que encontramos:
Como
, a equação é exata.
Passo 5
Agora que sabemos que a EDO é exata, vamos resolver. Isso significa que existe uma função
tal que:
Vamos encontrar essa função
.
Primeiro, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 6
Agora, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Integrando em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Substituindo
na expressão de
:
Como
(constante), podemos escrever:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Exercícios relacionados
Sejam
e
duas soluções da EDO linear de primeira ordem
0 . Prove que qualquer combinação linear
também é solução da EDO.
Resolva os PVI©
Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO.
© ;
©
Utilizando o Exercício 9, resolva as EDO(d)
.