Determine se a EDO dada é exata. Se for exata, resolva-a.
(e) (4 t^3 y - 15 t^2 - y) dt + (t^4 + 3 y^2 - t) dy = 0;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) e precisamos determinar se ela é exata. Se for, vamos resolvê-la. Para isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e seguir alguns passos para verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando e na equação. A equação dada é:
Aqui, temos:

Passo 3

Para verificar se a EDO é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a e ver se elas são iguais. Se forem, a equação é exata.
Vamos calcular :
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Comparando as derivadas que encontramos:
Como , a equação é exata.

Passo 5

Agora que sabemos que a EDO é exata, vamos resolver. Isso significa que existe uma função tal que:
Vamos encontrar essa função .
Primeiro, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 6

Agora, diferenciamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:
Integrando em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo na expressão de :
Como (constante), podemos escrever:

Resposta

A solução geral da EDO é:

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