Sejam varphi1(x) e varphi2(x) duas soluções da EDO linear de primeira ordem y' + P(x) y = 0 . Prove que qualquer combinação linear phi(x) = C1 * phi1(x) + C2 * phi2(x) também é solução da EDO.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede pra gente provar que qualquer combinação linear de duas soluções da equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem também é uma solução dessa EDO. A matéria aqui é Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem, e vamos precisar entender o que são soluções e como combinar elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ter uma solução para a EDO . Se e são soluções, então elas satisfazem essa equação, ou seja:

Passo 3

Agora, vamos considerar uma combinação linear dessas soluções:
Onde e são constantes.

Passo 4

Nosso objetivo é mostrar que também satisfaz a EDO . Para isso, vamos calcular a derivada de :

Passo 5

Agora, substituímos e na EDO:

Passo 6

Vamos reorganizar os termos:

Passo 7

Sabemos que e são soluções da EDO, então:
Substituindo na expressão anterior:

Resposta

Então, mostramos que , ou seja, também é solução da EDO .

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