Sejam
e
duas soluções da EDO linear de primeira ordem
0 . Prove que qualquer combinação linear
também é solução da EDO.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede pra gente provar que qualquer combinação linear de duas soluções da equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem
também é uma solução dessa EDO. A matéria aqui é Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem, e vamos precisar entender o que são soluções e como combinar elas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ter uma solução para a EDO
. Se
e
são soluções, então elas satisfazem essa equação, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos considerar uma combinação linear dessas soluções:
Onde
e
são constantes.
Passo 4
Nosso objetivo é mostrar que
também satisfaz a EDO
. Para isso, vamos calcular a derivada de
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na EDO:
Passo 6
Vamos reorganizar os termos:
Passo 7
Sabemos que
e
são soluções da EDO, então:
Substituindo na expressão anterior:
Resposta
Então, mostramos que
, ou seja,
também é solução da EDO
.
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Resolva os PVI©
Resolva os PVI(b)
Determine se a EDO dada é exata. Se for exata, resolva-a.
(e) ;
(e)
Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO.
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