Resolva o PVI

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que temos é com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que envolve encontrar as raízes da equação característica e depois aplicar as condições iniciais para achar as constantes da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. A equação geral para uma equação diferencial homogênea de segunda ordem é . No nosso caso, e , então a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usando a fórmula de Bhaskara: Substituindo , e : Então, as raízes são e .

Passo 4

Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é: Substituindo os valores de e :

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e . Primeiro, aplicamos :

Passo 6

Em seguida, derivamos para encontrar : Aplicamos a condição : Como , substituímos: Sabendo que : E, portanto, .

Resposta

A solução do PVI é:

Exercícios relacionados

Seja o plano e a reta que contém os pontos e . Determine as equações da reta que contém o ponto , é perpendicular à reta e paralela ao plano .
Sejam e . Determine equações paramétricas para a reta que passa pelo pontos e é ortogonal aos vetores e .
Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.