Resolva o PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que temos é com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que envolve encontrar as raízes da equação característica e depois aplicar as condições iniciais para achar as constantes da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. A equação geral para uma equação diferencial homogênea de segunda ordem é . No nosso caso, e , então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo , e :
Então, as raízes são e .
Passo 4
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo os valores de e :
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e . Primeiro, aplicamos :
Passo 6
Em seguida, derivamos para encontrar :
Aplicamos a condição :
Como , substituímos:
Sabendo que :
E, portanto, .
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Seja o plano e a reta que contém os pontos e . Determine as equações da reta que contém o ponto , é perpendicular à reta e paralela ao plano .
Sejam e . Determine equações paramétricas para a reta que passa pelo pontos e é ortogonal aos vetores e .
Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.