Sejam u = 2i + 2j + k e v = i + j - 2k. Determine equações paramétricas para a reta r que passa pelo pontos A=(1,2,-1) e é ortogonal aos vetores u e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que é perpendicular aos vetores e . Para isso, vamos precisar usar o conceito de produto vetorial para encontrar a direção da reta.

Passo 2

Primeiro, como a reta é perpendicular aos vetores e , o vetor diretor da reta deve ser perpendicular a ambos. Isso significa que o vetor diretor pode ser encontrado fazendo o produto vetorial de e . O produto vetorial nos dá um vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial :
Fazendo a expansão da matriz:
Simplificando:
Então, o vetor diretor da reta é:

Passo 4

Agora que temos o vetor diretor e sabemos que a reta passa pelo ponto , podemos escrever as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas de uma reta são dadas por:
Onde são as coordenadas do ponto pelo qual a reta passa e são as componentes do vetor diretor.

Passo 5

Substituindo os valores que temos:
Como é zero, a equação para simplifica para .

Resposta

As equações paramétricas da reta são:

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