Seja alpha o plano 2 x + y - z + 1 = 0 e r a reta que contém os pontos A = (0, 0, 2) e B = (2, 3, 6). Determine as equações da reta m que contém o ponto C=(1,2,3), é perpendicular à reta r e paralela ao plano alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a equação da reta que passa pelo ponto , é perpendicular à reta que conecta os pontos e , e também é paralela ao plano definido por . Para resolver isso, vamos precisar entender vetores, equações de retas no espaço e propriedades de planos. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor diretor da reta . O vetor diretor é basicamente a direção que a reta segue, e a gente encontra subtraindo as coordenadas dos pontos que a reta passa. Então:

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor normal ao plano . O vetor normal é um vetor perpendicular ao plano, e ele vem direto dos coeficientes das variáveis na equação do plano. Pelo plano , o vetor normal é:

Passo 4

A próxima etapa é encontrar o vetor diretor da reta . Sabemos que a reta precisa ser perpendicular à reta e paralela ao plano . Isso significa que o vetor diretor de deve ser perpendicular ao vetor diretor de e também perpendicular ao vetor normal do plano .
Para isso, usamos o produto vetorial dos dois vetores que queremos que o nosso vetor diretor seja perpendicular a eles. Ou seja:
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Então, o vetor diretor da reta é .

Passo 5

Agora que já temos o vetor diretor da reta e sabemos que ela passa pelo ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta . A equação paramétrica de uma reta no espaço é dada por:
Onde é um ponto da reta e é o vetor diretor.
Aplicando os nossos valores:

Resposta

A equação paramétrica da reta é:
Onde é um parâmetro real.

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