Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
(y^2 - 3xy - 2x^2) dx + (xy - x^2) dy = 0

Passo 1

Então, temos uma equação diferencial ordinária (edo) que não é exata inicialmente. O enunciado pede para multiplicar essa edo por um fator integrante, tornando-a exata, e depois resolver a edo exata resultante. Para fazer isso, vamos precisar entender o que torna uma edo exata e como encontrar o fator integrante adequado.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a edo dada é exata. Uma edo da forma é exata se .
Aqui, e .
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Como a edo não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicado na edo original, torne-a exata. Para facilitar, vamos tentar um fator integrante que depende apenas de , ou seja, .
A condição para que isso funcione é:
Substituindo os valores:

Passo 4

Resolvendo a equação diferencial para :
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Então:
Podemos escolher para simplificar, então .

Passo 5

Multiplicando a edo original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, verificamos se a nova edo é exata:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a edo é exata.

Passo 6

Agora, para resolver a edo exata, encontramos uma função tal que:
Integrando em relação a :
Derivando em relação a e igualando a :
Portanto, , o que implica , onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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