Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
Passo 1
Então, temos uma equação diferencial ordinária (edo) que não é exata inicialmente. O enunciado pede para multiplicar essa edo por um fator integrante, tornando-a exata, e depois resolver a edo exata resultante. Para fazer isso, vamos precisar entender o que torna uma edo exata e como encontrar o fator integrante adequado.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a edo dada é exata. Uma edo da forma
é exata se
.
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Como a edo não é exata, precisamos encontrar um fator integrante
que, quando multiplicado na edo original, torne-a exata. Para facilitar, vamos tentar um fator integrante que depende apenas de
, ou seja,
.
A condição para que isso funcione é:
Substituindo os valores:
Passo 4
Resolvendo a equação diferencial para
:
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Então:
Podemos escolher
para simplificar, então
.
Passo 5
Multiplicando a edo original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, verificamos se a nova edo é exata:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a edo é exata.
Passo 6
Agora, para resolver a edo exata, encontramos uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Derivando
em relação a
e igualando a
:
Portanto,
, o que implica
, onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: