Resolva a seguinte EDO não-homogênea de primeira ordem,
sujeita à seguinte condição inicial
. Sendo
e
constantes positivas. Use o método da transformada de Laplace (vulgo operador
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem usando a transformada de Laplace. A equação que temos é:
Com a condição inicial
. A transformada de Laplace vai nos ajudar a transformar essa equação no domínio da frequência, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de
é
, onde
é a transformada de
. Então, aplicando:
Isso dá:
Passo 3
Agora, substituímos a condição inicial
na equação:
Vamos juntar os termos que têm
:
Passo 4
Para encontrar
, isolamos ele na equação:
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, colocamos tudo sobre um denominador comum:
Simplificando o numerador:
Passo 5
Vamos decompôr essa fração usando frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, escolhemos valores de
que simplifiquem a equação.
- Se
:
- Se
:
Então, temos:
Passo 6
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar
. Sabemos que:
Aplicando isso aos termos de
:
Resposta
A solução da EDO é:
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e
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b)
b)
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