Resolva a seguinte EDO não-homogênea de primeira ordem,
d/dt x(t) + 5 x(t) = 2 e^(-3 t)
sujeita à seguinte condição inicial x(0) = 1/2. Sendo a e c constantes positivas. Use o método da transformada de Laplace (vulgo operador L ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem usando a transformada de Laplace. A equação que temos é:
Com a condição inicial . A transformada de Laplace vai nos ajudar a transformar essa equação no domínio da frequência, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de é , onde é a transformada de x(t). Então, aplicando:
Isso dá:

Passo 3

Agora, substituímos a condição inicial na equação:
Vamos juntar os termos que têm :

Passo 4

Para encontrar , isolamos ele na equação:
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, colocamos tudo sobre um denominador comum:
Simplificando o numerador:

Passo 5

Vamos decompôr essa fração usando frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar A e B, escolhemos valores de s que simplifiquem a equação.
  • Se :
  • Se :
Então, temos:

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar x(t). Sabemos que:
Aplicando isso aos termos de :

Resposta

A solução da EDO é:

Exercícios relacionados