Mostre como obter a solução na forma simplificada

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar como obter a solução na forma simplificada:
Isso está relacionado ao estudo de movimento harmônico simples na Física. Vamos precisar usar conceitos de funções trigonométricas e resolução de equações diferenciais básicas para chegar nessa forma simplificada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o movimento harmônico simples pode ser descrito pela equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem onde é a frequência angular do sistema.

Passo 3

A solução geral dessa equação é uma combinação linear de funções seno e cosseno:
Aqui, e são constantes que determinam as condições iniciais do sistema, como posição e velocidade iniciais.

Passo 4

Para simplificar essa expressão e escrever em uma única função cosseno com uma fase, usamos uma identidade trigonométrica. Podemos reescrever a combinação de seno e cosseno como:
Onde:
  • é a amplitude do movimento.
  • é o deslocamento de fase.

Passo 5

Para encontrar e , usamos as condições iniciais e . Isso envolve resolver um sistema de equações:
Com isso, podemos determinar e .

Resposta

Então, ao combinar as soluções trigonométricas e aplicar as condições iniciais, conseguimos simplificar a solução para:

Exercícios relacionados

a) Mostre como relacionar o movimento circular uniforme com o movimento do oscilador harmônico simples.
Resolva a seguinte EDO não-homogênea de primeira ordem,
sujeita à seguinte condição inicial . Sendo e constantes positivas. Use o método da transformada de Laplace (vulgo operador ).
Simplifique a notação da equação para obter:
Nesse tipo particular de movimento, como a frequência angular é dada em termos do período de oscilação?