Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar como obter a solução na forma simplificada:
Isso está relacionado ao estudo de movimento harmônico simples na Física. Vamos precisar usar conceitos de funções trigonométricas e resolução de equações diferenciais básicas para chegar nessa forma simplificada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o movimento harmônico simples pode ser descrito pela equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem onde é a frequência angular do sistema.
Passo 3
A solução geral dessa equação é uma combinação linear de funções seno e cosseno:
Aqui, e são constantes que determinam as condições iniciais do sistema, como posição e velocidade iniciais.
Passo 4
Para simplificar essa expressão e escrever em uma única função cosseno com uma fase, usamos uma identidade trigonométrica. Podemos reescrever a combinação de seno e cosseno como:
Onde:
é a amplitude do movimento.
é o deslocamento de fase.
Passo 5
Para encontrar e , usamos as condições iniciais e . Isso envolve resolver um sistema de equações:
Com isso, podemos determinar e .
Resposta
Então, ao combinar as soluções trigonométricas e aplicar as condições iniciais, conseguimos simplificar a solução para: