a) Mostre como relacionar o movimento circular uniforme com o movimento do oscilador harmônico simples.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar como o movimento circular uniforme (MCU) está ligado ao movimento do oscilador harmônico simples (OHS). Basicamente, vamos explorar como um movimento em círculo pode se transformar em um movimento de vai e vem, tipo uma mola ou um pêndulo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre MCU e OHS e como eles se relacionam matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o movimento circular uniforme. No MCU, um objeto se move em um círculo com velocidade angular constante. A posição do objeto em qualquer instante de tempo pode ser descrita pelas coordenadas:
Aqui,
é o raio do círculo,
é a velocidade angular,
é o tempo e
é a fase inicial.
Passo 3
Agora, o movimento harmônico simples é aquele onde a posição varia de forma sinusoidal com o tempo, como:
Onde
é a amplitude,
é a frequência angular e
é a fase inicial, igual na nossa expressão do MCU.
Passo 4
A conexão entre os dois movimentos acontece quando projetamos o movimento circular uniforme em um dos eixos, digamos o eixo
. Imagine que você está olhando para um objeto se movendo em um círculo e só vê o movimento na direção horizontal. O que você verá é exatamente um movimento harmônico simples!
Isso porque a componente
do MCU tem a mesma forma que a equação do OHS
. Assim, o movimento circular uniforme pode ser visto como uma combinação de dois movimentos harmônicos simples em direções perpendiculares.
Resposta
Portanto, o movimento harmônico simples pode ser obtido projetando o movimento circular uniforme em um dos eixos, já que a posição nessa direção varia de forma sinusoidal com o tempo, seguindo a mesma equação matemática do OHS.
Exercícios relacionados
Resolva a seguinte EDO não-homogênea de primeira ordem,
sujeita à seguinte condição inicial
. Sendo
e
constantes positivas. Use o método da transformada de Laplace (vulgo operador
).
Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens
e
se as soluções encontradas estão corretas.
b)
b)
Mostre como obter a solução na forma simplificada
Simplifique a notação da equação para obter: