a) Mostre como relacionar o movimento circular uniforme com o movimento do oscilador harmônico simples.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar como o movimento circular uniforme (MCU) está ligado ao movimento do oscilador harmônico simples (OHS). Basicamente, vamos explorar como um movimento em círculo pode se transformar em um movimento de vai e vem, tipo uma mola ou um pêndulo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre MCU e OHS e como eles se relacionam matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o movimento circular uniforme. No MCU, um objeto se move em um círculo com velocidade angular constante. A posição do objeto em qualquer instante de tempo pode ser descrita pelas coordenadas:
Aqui, é o raio do círculo, é a velocidade angular, é o tempo e é a fase inicial.

Passo 3

Agora, o movimento harmônico simples é aquele onde a posição varia de forma sinusoidal com o tempo, como:
Onde é a amplitude, é a frequência angular e é a fase inicial, igual na nossa expressão do MCU.

Passo 4

A conexão entre os dois movimentos acontece quando projetamos o movimento circular uniforme em um dos eixos, digamos o eixo . Imagine que você está olhando para um objeto se movendo em um círculo e só vê o movimento na direção horizontal. O que você verá é exatamente um movimento harmônico simples!
Isso porque a componente do MCU tem a mesma forma que a equação do OHS . Assim, o movimento circular uniforme pode ser visto como uma combinação de dois movimentos harmônicos simples em direções perpendiculares.

Resposta

Portanto, o movimento harmônico simples pode ser obtido projetando o movimento circular uniforme em um dos eixos, já que a posição nessa direção varia de forma sinusoidal com o tempo, seguindo a mesma equação matemática do OHS.

Exercícios relacionados

Resolva a seguinte EDO não-homogênea de primeira ordem,
sujeita à seguinte condição inicial . Sendo e constantes positivas. Use o método da transformada de Laplace (vulgo operador ).
Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens e se as soluções encontradas estão corretas.
b)
Mostre como obter a solução na forma simplificada
Simplifique a notação da equação para obter: