Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens e se as soluções encontradas estão corretas.
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede pra resolver uma equação diferencial usando o método de separação de variáveis. A equação que temos é:
Então, vamos precisar entender como separar as variáveis e para conseguir integrar cada lado e encontrar a solução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar os termos que envolvem dos que envolvem . A equação dada é:
Podemos mover o termo com para o outro lado:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por para deixar os termos com de um lado:

Passo 3

Agora, queremos reunir os termos com de um lado e os termos com do outro lado. Vamos dividir ambos os lados por e por :
Mas, na verdade, para facilitar a separação, vamos reescrever a equação de uma forma mais clara:
Agora, conseguimos separar as variáveis: tudo que envolve está de um lado e tudo que envolve está do outro.

Passo 4

Agora que separamos as variáveis, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral fica assim:
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 5

Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Aqui, usamos a integral básica .

Passo 6

Agora, a integral do lado direito:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja . Então:
Substituindo na integral:
Integrando:

Passo 7

Agora, juntando as integrais dos dois lados:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Passo 8

Para isolar , vamos exponenciar ambos os lados da equação:
Como é apenas uma constante, podemos substituir por :
Onde é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real qualquer.

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