Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens
e
se as soluções encontradas estão corretas.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede pra resolver uma equação diferencial usando o método de separação de variáveis. A equação que temos é:
Então, vamos precisar entender como separar as variáveis
e
para conseguir integrar cada lado e encontrar a solução da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. A equação dada é:
Podemos mover o termo com
para o outro lado:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por
para deixar os termos com
de um lado:
Passo 3
Agora, queremos reunir os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado. Vamos dividir ambos os lados por
e por
:
Mas, na verdade, para facilitar a separação, vamos reescrever a equação de uma forma mais clara:
Agora, conseguimos separar as variáveis: tudo que envolve
está de um lado e tudo que envolve
está do outro.
Passo 4
Agora que separamos as variáveis, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral fica assim:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 5
Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Aqui, usamos a integral básica
.
Passo 6
Agora, a integral do lado direito:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
. Então:
Substituindo na integral:
Integrando:
Passo 7
Agora, juntando as integrais dos dois lados:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 8
Para isolar
, vamos exponenciar ambos os lados da equação:
Como
é apenas uma constante, podemos substituir por
:
Onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real qualquer.
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. Sendo
e
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).
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