Resolva a seguinte equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem,
sujeita à seguinte condição inicial . Sendo e constantes positivas. Use o método da transformada de Laplace (vulgo operador ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem usando o método da transformada de Laplace. A equação que temos é:
E a condição inicial é . Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades das transformadas de Laplace e como aplicá-las em equações diferenciais. Basicamente, a transformada de Laplace vai transformar a equação do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de é , onde é a transformada de . Aplicando isso, temos:
Substituindo as transformadas, fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para . Primeiro, distribuímos o :
Isolando :
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos encontrar fazendo a transformada inversa de . Sabemos que:
Aplicando isso:
Então:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Considere uma função , explique (de acordo com a atividade feita em aula) o que significam os seguintes parâmetros:
Qual é a diferença entre oscilações, vibrações e ondas? Explique.
Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens e se as soluções encontradas estão corretas.
b)