Resolva a seguinte equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem,
a * d/dt x(t) + c = 0
sujeita à seguinte condição inicial x(0) = x0. Sendo a e c constantes positivas. Use o método da transformada de Laplace (vulgo operador L ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem usando o método da transformada de Laplace. A equação que temos é:
E a condição inicial é . Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades das transformadas de Laplace e como aplicá-las em equações diferenciais. Basicamente, a transformada de Laplace vai transformar a equação do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de é , onde é a transformada de x(t). Aplicando isso, temos:
Substituindo as transformadas, fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para . Primeiro, distribuímos o a:
Isolando :
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos encontrar x(t) fazendo a transformada inversa de . Sabemos que:
Aplicando isso:
Então:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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