Resolva a seguinte equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem,
sujeita à seguinte condição inicial
. Sendo
e
constantes positivas. Use o método da transformada de Laplace (vulgo operador
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem usando o método da transformada de Laplace. A equação que temos é:
E a condição inicial é
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades das transformadas de Laplace e como aplicá-las em equações diferenciais. Basicamente, a transformada de Laplace vai transformar a equação do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de
é
, onde
é a transformada de
. Aplicando isso, temos:
Substituindo as transformadas, fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para
. Primeiro, distribuímos o
:
Isolando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
fazendo a transformada inversa de
. Sabemos que:
Aplicando isso:
Então:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Considere uma função
, explique (de acordo com a atividade feita em aula) o que significam os seguintes parâmetros:
Qual é a diferença entre oscilações, vibrações e ondas? Explique.
Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens
e
se as soluções encontradas estão corretas.
b)
b)