integral0^1 integral0^raizy x y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema de cálculo que você me enviou. Temos uma integral dupla:
integral0^1 integral0^raizy x y^2 , dx , dy
Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Precisamos conhecer as regras básicas de integração e entender como trabalhar com limites de integração que dependem uma da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a integração em relação a integral0^raizy x y^2 , dx :
integral x , dx = 12 x^2
Aqui, integral0^raizy x y^2 , dx = y^2 [ 12 x^2 ]0^raizy = y^2 ( 12 (raizy)^2 - 0 ) = y^2 ( 12 y ) = 12 y^3 é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a . A integral de em relação a é:
Então, aplicando isso na nossa integral:

Passo 3

Agora que resolvemos a integral interna, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^1 12 y^3 , dy
Vamos simplificar e tirar a constante 12 integral0^1 y^3 , dy para fora da integral:
integral y^3 , dy = 14 y^4
A integral de em relação a é:

Passo 4

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
12 [ 14 y^4 ]0^1 = 12 ( 14 (1)^4 - 14 (0)^4 ) = 12 ( 14 - 0 ) = 12 times 14 = 18

Resposta

O valor da integral dupla é .

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