Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função . Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de transformadas de Laplace e integrais definidas. Para resolver, vamos precisar das propriedades da transformada de Laplace e saber como lidar com integrais de funções que envolvem senos e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de uma integral de uma função desde 0 até pode ser encontrada usando a propriedade da transformada da integral. A propriedade nos diz que:
Onde é a transformada de Laplace de .

Passo 3

No nosso caso, a função dentro da integral é . Então, precisamos primeiro encontrar a transformada de Laplace de , ou seja, .

Passo 4

Para encontrar , usamos uma fórmula padrão da transformada de Laplace para , que é:
No nosso caso, , então a fórmula fica:

Passo 5

Agora que temos , aplicamos a propriedade da transformada da integral mencionada no Passo 2:

Passo 6

Simplificando a expressão:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

Exercícios relacionados

Determine se é um ponto ordinário ou um ponto singular regular da equação diferencial . Use o método de solução em série apropriado para obter duas soluções em série linearmente independentes da equação em torno de .
Resolva a seguinte equação diferencial ordinárias:
Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais homogêneo de primeira ordem dado.
(a)
Calcule utilizando o método de Frações Parciais. .
(o)