Resolva as integrais indefinidas a seguir:
Passo 1
Primeiro, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que resolver a integral indefinida
. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente no tópico de integração envolvendo radicais. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que facilita a integração de funções que envolvem expressões quadráticas sob a raiz.
Passo 2
Vamos começar fazendo uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que
se assemelha à identidade trigonométrica
. Assim, podemos fazer a substituição:
Passo 3
Com essa substituição, vamos calcular
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Agora, precisamos integrar
. Sabemos que:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos voltar à variável original
. Sabemos que
, então:
E, como
, temos:
Resposta
Portanto, a integral resolvida é:
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Resolva as integrais indefinidas a seguir:
Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Faça um esboço da região delimitada pelas curvas
e
, e pelas retas
e
.
Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais: