Resolva as integrais indefinidas a seguir: integral raizz^2-9z d z

Passo 1

Primeiro, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que resolver a integral indefinida . Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente no tópico de integração envolvendo radicais. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que facilita a integração de funções que envolvem expressões quadráticas sob a raiz.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que z = 3,sectheta se assemelha à identidade trigonométrica . Assim, podemos fazer a substituição:

Passo 3

Com essa substituição, vamos calcular dz = 3,sectheta,tantheta, dtheta . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos integral raizz^2-9z , dz = integral raiz9,sec^2theta - 93,sectheta cdot 3,sectheta,tantheta, dtheta e raiz9,tan^2theta = 3,tantheta na integral original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral 3,tantheta3,sectheta cdot 3,sectheta,tantheta, dtheta = integral tan^2theta , dtheta

Passo 6

Agora, precisamos integrar tan^2theta = sec^2theta - 1 . Sabemos que:
integral tan^2theta , dtheta = integral (sec^2theta - 1) , dtheta = tantheta - theta + C
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos voltar à variável original sectheta = z3 Rightarrow theta = sec^-1(z3) . Sabemos que tantheta = raizz^2 - 93 , então:
E, como , temos:

Resposta

Portanto, a integral resolvida é:
integral raizz^2-9z , dz = raizz^2-93 - sec^-1(z3) + C

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