O vetor é ortogonal aos vetores . Além disso, . Encontre .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar um vetor que seja ortogonal aos vetores e . Além disso, sabemos que o produto escalar de com o vetor é igual a . Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como ortogonalidade, produto vetorial e produto escalar, para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa que é ortogonal a e . Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é zero. Ou seja:
Isso nos mostra que é perpendicular a ambos os vetores e .
Passo 3
Quando temos dois vetores no espaço tridimensional e queremos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos, podemos usar o produto vetorial. O produto vetorial de e , denotado por , nos dá um vetor que é ortogonal a ambos.
Vamos calcular :
Calculando o determinante:
u times v = i(3 cdot 3 - (-1) cdot (-2)) - j(2 cdot 3 - (-1) cdot 1) + k(2 cdot (-2) - 3 cdot 1)
= i(9 - 2) - j(6 - (-1)) + k(-4 - 3)
= 7i - 7j - 7k
= 7(1, -1, -1)
Então, o produto vetorial u times v = 7(1, -1, -1).
Passo 4
Como w deve ser ortogonal a u e v, ele pode ser escrito como um múltiplo escalar do produto vetorial:
w = k (u times v) = k cdot 7(1, -1, -1) = (7k, -7k, -7k)
Aqui, k é um número real que precisamos determinar usando a outra condição do problema.
Passo 5
Sabemos que o produto escalar de w com o vetor (2, -1, 1) é igual a -6: