O vetor é ortogonal aos vetores . Além disso, . Encontre .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar um vetor que seja ortogonal aos vetores e . Além disso, sabemos que o produto escalar de com o vetor é igual a . Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como ortogonalidade, produto vetorial e produto escalar, para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa que é ortogonal a e . Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é zero. Ou seja:
Isso nos mostra que é perpendicular a ambos os vetores e .
Passo 3
Quando temos dois vetores no espaço tridimensional e queremos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos, podemos usar o **produto vetorial**. O produto vetorial de e , denotado por , nos dá um vetor que é ortogonal a ambos.
Vamos calcular :
Calculando o determinante:
Então, o produto vetorial .
Passo 4
Como deve ser ortogonal a e , ele pode ser escrito como um múltiplo escalar do produto vetorial:
Aqui, é um número real que precisamos determinar usando a outra condição do problema.
Passo 5
Sabemos que o produto escalar de com o vetor é igual a :
Substituindo por :