O vetor é ortogonal aos vetores . Além disso, . Encontre .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar um vetor que seja ortogonal aos vetores e . Além disso, sabemos que o produto escalar de com o vetor é igual a . Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como ortogonalidade, produto vetorial e produto escalar, para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa que é ortogonal a e . Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é zero. Ou seja: Isso nos mostra que é perpendicular a ambos os vetores e .

Passo 3

Quando temos dois vetores no espaço tridimensional e queremos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos, podemos usar o **produto vetorial**. O produto vetorial de e , denotado por , nos dá um vetor que é ortogonal a ambos. Vamos calcular : Calculando o determinante: Então, o produto vetorial .

Passo 4

Como deve ser ortogonal a e , ele pode ser escrito como um múltiplo escalar do produto vetorial: Aqui, é um número real que precisamos determinar usando a outra condição do problema.

Passo 5

Sabemos que o produto escalar de com o vetor é igual a : Substituindo por :

Resposta

Portanto, o vetor é:

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Em cada parte, encontre matrizes que expressem o sistema de equações lineares dado como uma única equação matricial (b)
[Problemas com valor inicial deslocado] Estes correspondem aos problemas de valor inicial cujas condições iniciais são dadas para algum , em vez de . Considere o seguinte (P.V.I.) c) Conclua que é solução do (P.V.I.) original.