O vetor w é ortogonal aos vetores u=(2,3,-1), v=(1,-2,3). Além disso, w cdot(2,-1,1)=-6. Encontre w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar um vetor w que seja ortogonal aos vetores u = (2, 3, -1) e v = (1, -2, 3). Além disso, sabemos que o produto escalar de w com o vetor (2, -1, 1) é igual a -6. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como ortogonalidade, produto vetorial e produto escalar, para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa que w é ortogonal a u e v. Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é zero. Ou seja:
w cdot u = 0 e w cdot v = 0
Isso nos mostra que w é perpendicular a ambos os vetores u e v.

Passo 3

Quando temos dois vetores no espaço tridimensional e queremos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos, podemos usar o produto vetorial. O produto vetorial de u e v, denotado por u times v, nos dá um vetor que é ortogonal a ambos.
Vamos calcular u times v:
u times v = i & j & k 2 & 3 & -1 1 & -2 & 3
Calculando o determinante:
u times v = i(3 cdot 3 - (-1) cdot (-2)) - j(2 cdot 3 - (-1) cdot 1) + k(2 cdot (-2) - 3 cdot 1)
= i(9 - 2) - j(6 - (-1)) + k(-4 - 3)
= 7i - 7j - 7k
= 7(1, -1, -1)
Então, o produto vetorial u times v = 7(1, -1, -1).

Passo 4

Como w deve ser ortogonal a u e v, ele pode ser escrito como um múltiplo escalar do produto vetorial:
w = k (u times v) = k cdot 7(1, -1, -1) = (7k, -7k, -7k)
Aqui, k é um número real que precisamos determinar usando a outra condição do problema.

Passo 5

Sabemos que o produto escalar de w com o vetor (2, -1, 1) é igual a -6:
w cdot (2, -1, 1) = -6
Substituindo w por (7k, -7k, -7k):
(7k)(2) + (-7k)(-1) + (-7k)(1) = -6
14k + 7k -7k = -6
14k = -6
k = -614 = -37

Resposta

Portanto, o vetor w é:
w = 7k(1, -1, -1) = 7(-37)(1, -1, -1) = (-3, 3, 3)

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