Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular . Aqui estamos lidando com operações matriciais: soma de matrizes, multiplicação por um escalar, e inversa de uma matriz. Para isso, vamos precisar:
Somar as matrizes e .
Multiplicar o resultado por 3.
Calcular a inversa da matriz , ou seja, .
Por fim, multiplicar pela inversa de .
Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos somar as matrizes A = 2 & 1 & 0 0 & 3 & -1 1 & 1 & 4 , B = 1 & 1 & 0 0 & 2 & 2 1 & 0 & 2 e A + B = 2+1 & 1+1 & 0+0 0+0 & 3+2 & -1+2 1+1 & 1+0 & 4+2 = 3 & 2 & 0 0 & 5 & 1 2 & 1 & 6 . A soma de duas matrizes é feita somando cada elemento correspondente.
Somando :
Passo 3
Agora, vamos multiplicar a matriz resultante por 3. A multiplicação por um escalar significa multiplicar cada elemento da matriz por esse número.
Em seguida, precisamos calcular a inversa da matriz A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) , ou seja, det(A) = 2(3 times 4 - (-1) times 1) - 1(0 times 4 - (-1) times 1) + 0 = 2(12 + 1) - 1(0 + 1) + 0 = 2 times 13 - 1 = 26 - 1 = 25 . A inversa de uma matriz é aquela que, quando multiplicada pela matriz original, resulta na matriz identidade.
Para uma matriz adj(A) = (3 times 4 - (-1) times 1) & -(0 times 4 - (-1) times 1) & (0 times 1 - 3 times 1) -(1 times 4 - 1 times 1) & (2 times 4 - 1 times 1) & -(2 times 1 - 1 times 1) (1 times (-1) - 3 times 1) & -(2 times (-1) - 1 times 1) & (2 times 3 - 0 times 1) ^T , a inversa pode ser calculada usando a fórmula:
adj(A) = 13 & -1 & -3 -3 & 7 & -1 -4 & 3 & 6
Onde A^-1 = 125 13 & -1 & -3 -3 & 7 & -1 -4 & 3 & 6 é o determinante de e é a adjunta de .
Calculando o determinante de :
Agora, encontrando a adjunta de (matriz dos cofatores transposta):
Calculando cada cofator:
Então:
Passo 5
Finalmente, vamos multiplicar 3(A + B) A^-1 = 9 & 6 & 0 0 & 15 & 3 6 & 3 & 18 times 125 13 & -1 & -3 -3 & 7 & -1 -4 & 3 & 6 pela inversa de 3(A + B) A^-1 = 125 9 times 13 + 6 times (-3) + 0 times (-4) & 9 times (-1) + 6 times 7 + 0 times 3 & 9 times (-3) + 6 times (-1) + 0 times 6 0 times 13 + 15 times (-3) + 3 times (-4) & 0 times (-1) + 15 times 7 + 3 times 3 & 0 times (-3) + 15 times (-1) + 3 times 6 6 times 13 + 3 times (-3) + 18 times (-4) & 6 times (-1) + 3 times 7 + 18 times 3 & 6 times (-3) + 3 times (-1) + 18 times 6 , 9 times 13 + 6 times (-3) + 0 times (-4) = 117 - 18 + 0 = 99 :
9 times (-1) + 6 times 7 + 0 times 3 = -9 + 42 + 0 = 33
Vamos realizar a multiplicação matriz por matriz:
9 times (-3) + 6 times (-1) + 0 times 6 = -27 - 6 + 0 = -33
Calculando cada elemento:
Primeira linha:
0 times 13 + 15 times (-3) + 3 times (-4) = 0 - 45 - 12 = -57
0 times (-1) + 15 times 7 + 3 times 3 = 0 + 105 + 9 = 114
0 times (-3) + 15 times (-1) + 3 times 6 = 0 - 15 + 18 = 3
Segunda linha:
6 times 13 + 3 times (-3) + 18 times (-4) = 78 - 9 - 72 = -3
6 times (-1) + 3 times 7 + 18 times 3 = -6 + 21 + 54 = 69
6 times (-3) + 3 times (-1) + 18 times 6 = -18 - 3 + 108 = 87