Resolva as seguintes desigualdades.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a desigualdade
. Aqui estamos lidando com uma fração algébrica e queremos encontrar os valores de
que tornam essa fração menor que zero. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre sinais de expressões algébricas e valores que anulam o numerador e o denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o numerador
. Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:
Então, a desigualdade fica:
Passo 3
Agora, identificamos os valores críticos, que são os valores de
que tornam o numerador ou o denominador igual a zero. Esses valores são importantes porque eles podem mudar o sinal da fração.
-
Numerador igual a zero:
-
Denominador igual a zero:
Então, os valores críticos são
,
e
.
Passo 4
Vamos dividir a reta numérica em intervalos usando esses valores críticos:
Em cada intervalo, vamos determinar o sinal da fração
.
Passo 5
Vamos testar um valor de
em cada intervalo:
-
Para
, digamos : Sinal: Negativo -
Para
, digamos : Sinal: Positivo -
Para
, digamos : Sinal: Negativo -
Para
, digamos : Sinal: Positivo
Passo 6
Agora, queremos onde a fração é menor que zero, ou seja, onde o sinal é negativo. Observamos que isso ocorre nos intervalos:
Lembrando que
não está incluído porque o denominador se anula nesse ponto, tornando a expressão indefinida. Também excluímos
e
porque nesses pontos a fração é igual a zero, e estamos buscando apenas onde é menor que zero.
Resposta
A solução da desigualdade é:
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Usando a definiçãoo formal de
Resolva as desigualdades a seguir.
Resolva as seguintes desigualdades.