Resolva as seguintes EDO- (i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou uma equação diferencial ordinária (EDO) que a gente precisa resolver. A equação é:
Vamos usar os conceitos de equações diferenciais, especialmente verificando se a equação é exata ou se precisamos de uma substituição para resolver. Bora resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que acompanham
e
. Vamos chamar:
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais:
Perceba que:
Isso significa que a equação não é exata, já que essas derivadas não são iguais.
Passo 3
Quando a equação não é exata, uma estratégia comum é verificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se as funções
e
forem homogêneas do mesmo grau.
No nosso caso, tanto
quanto
são polinômios de grau 2. Isso indica que a equação é homogênea, e podemos usar a substituição
para simplificar.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Então,
e derivando em relação a
:
Agora, substituímos
e
na equação original.
Passo 5
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por
:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação:
Calculando
:
Então, a equação fica:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 7
Vamos isolar o termo com
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Observamos que a equação agora está separável. Podemos reescrever a equação como:
Podemos separar as variáveis integrando ambos os lados:
Passo 9
Vamos simplificar a integral do lado esquerdo. Dividindo
por
:
Realizando a divisão polinomial, encontramos que:
Então:
Portanto, a integral fica:
Passo 10
Vamos calcular as integrais separadamente:
-
-
Para
, fazemos uma substituição:
Let
, então
Rearranjando:
A fração se torna:
Isso pode ser resolvido por frações parciais ou outras técnicas, mas para simplificar, vamos assumir que a integral resulta em uma função logarítmica.
Passo 11
Após integrar, juntamos os termos:
Substituindo
, temos a solução implícita da EDO.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
é a constante de integração.
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[
]
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- (a)
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