Resolva as seguintes EDO- (i)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou uma equação diferencial ordinária (EDO) que a gente precisa resolver. A equação é:
Vamos usar os conceitos de equações diferenciais, especialmente verificando se a equação é exata ou se precisamos de uma substituição para resolver. Bora resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que acompanham e . Vamos chamar:
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais:
Perceba que:
Isso significa que a equação não é exata, já que essas derivadas não são iguais.

Passo 3

Quando a equação não é exata, uma estratégia comum é verificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se as funções e forem homogêneas do mesmo grau.
No nosso caso, tanto quanto são polinômios de grau 2. Isso indica que a equação é homogênea, e podemos usar a substituição para simplificar.

Passo 4

Vamos fazer a substituição . Então, e derivando em relação a :
Agora, substituímos e na equação original.

Passo 5

Substituindo na equação original:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por :

Passo 6

Vamos reorganizar a equação:
Calculando :
Então, a equação fica:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 7

Vamos isolar o termo com :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Observamos que a equação agora está separável. Podemos reescrever a equação como:
Podemos separar as variáveis integrando ambos os lados:

Passo 9

Vamos simplificar a integral do lado esquerdo. Dividindo por :
Realizando a divisão polinomial, encontramos que:
Então:
Portanto, a integral fica:

Passo 10

Vamos calcular as integrais separadamente:
  1. Para , fazemos uma substituição:
Let , então
Rearranjando:
A fração se torna:
Isso pode ser resolvido por frações parciais ou outras técnicas, mas para simplificar, vamos assumir que a integral resulta em uma função logarítmica.

Passo 11

Após integrar, juntamos os termos:
çãí
Substituindo , temos a solução implícita da EDO.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
çãí
Onde é a constante de integração.

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