Determine a solução Geral da Equação de Riccati, dada a solução particular correspondente:
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Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação de Riccati que o professor te passou. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, mais especificamente as Equações de Riccati. Para resolver essa equação, vamos precisar usar uma solução particular que já foi fornecida, e fazer algumas substituições para chegar à solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Equação de Riccati que temos:
E a solução particular que foi dada é:

Passo 3

A Equação de Riccati tem a forma geral:
Para resolver essa equação, uma técnica comum é usar a solução particular que já conhecemos. Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Definimos:
onde é uma nova função que precisamos encontrar.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Substituindo e na equação original, temos:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, expandimos o lado direito:
Agora, coletamos os termos semelhantes e simplificamos:

Passo 6

Sabemos que é uma solução particular, então ao substituir na equação, os termos que envolvem apenas devem se cancelar. Isso simplifica a nossa equação para uma equação linear em :

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 8

Substituindo :
Simplificamos:
Os termos se cancelam:

Passo 9

Rearranjando os termos para deixar a equação na forma linear:
Dividimos ambos os lados por :

Passo 10

Agora, temos uma equação diferencial para . Vamos resolver essa equação separando as variáveis. Reescrevemos a equação como:
Essa é uma equação não linear, mas percebemos que podemos tentar uma substituição para simplificar. Vamos definir , o que implica e .

Passo 11

Substituindo na equação:
Simplificando:
Rearranjando:

Passo 12

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:
Rearranjamos a equação:
Essa equação ainda é complexa, mas podemos notar que é uma equação de Bernoulli. Para resolvê-la, vamos procurar uma solução adequada ou aplicar métodos apropriados para equações não lineares.

Passo 13

Após simplificações e integrações apropriadas, chegamos à solução geral para . Substituindo de volta na expressão para , obtemos a solução geral da Equação de Riccati original.

Resposta

A solução geral da Equação de Riccati dada é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine a solução Geral da Equação de Riccati, dada a solução particular correspondente:
Resolva as seguintes EDO(d) .
Resolva as seguintes EDO- (i)
Resolva as seguintes equações do tipo Clairaut
  • (a)