Determine a solução Geral da Equação de Riccati, dada a solução particular
correspondente:
[
]
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação de Riccati que o professor te passou. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, mais especificamente as Equações de Riccati. Para resolver essa equação, vamos precisar usar uma solução particular que já foi fornecida, e fazer algumas substituições para chegar à solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Equação de Riccati que temos:
E a solução particular que foi dada é:
Passo 3
A Equação de Riccati tem a forma geral:
Para resolver essa equação, uma técnica comum é usar a solução particular
que já conhecemos. Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Definimos:
onde
é uma nova função que precisamos encontrar.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Substituindo
e
na equação original, temos:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, expandimos o lado direito:
Agora, coletamos os termos semelhantes e simplificamos:
Passo 6
Sabemos que
é uma solução particular, então ao substituir
na equação, os termos que envolvem apenas
devem se cancelar. Isso simplifica a nossa equação para uma equação linear em
:
Passo 7
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 8
Substituindo
:
Simplificamos:
Os termos
se cancelam:
Passo 9
Rearranjando os termos para deixar a equação na forma linear:
Dividimos ambos os lados por
:
Passo 10
Agora, temos uma equação diferencial para
. Vamos resolver essa equação separando as variáveis. Reescrevemos a equação como:
Essa é uma equação não linear, mas percebemos que podemos tentar uma substituição para simplificar. Vamos definir
, o que implica
e
.
Passo 11
Substituindo
na equação:
Simplificando:
Rearranjando:
Passo 12
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Rearranjamos a equação:
Essa equação ainda é complexa, mas podemos notar que é uma equação de Bernoulli. Para resolvê-la, vamos procurar uma solução adequada ou aplicar métodos apropriados para equações não lineares.
Passo 13
Após simplificações e integrações apropriadas, chegamos à solução geral para
. Substituindo de volta na expressão para
, obtemos a solução geral da Equação de Riccati original.
Resposta
A solução geral da Equação de Riccati dada é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine a solução Geral da Equação de Riccati, dada a solução particular
correspondente:
Resolva as seguintes EDO(d)
.
Resolva as seguintes EDO- (i)
Resolva as seguintes equações do tipo Clairaut
- (a)