Determine a solução Geral da Equação de Riccati, dada a solução particular
correspondente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma Equação de Riccati, que é um tipo específico de equação diferencial não linear de primeira ordem. A equação dada é:
E a gente já sabe uma solução particular dessa equação, que é
. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar usar uma técnica que transforma a Equação de Riccati em uma equação diferencial linear, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma Equação de Riccati. Ela tem a forma geral:
No nosso caso, como não temos dependência de
(a equação é autônoma), podemos simplificar para:
Sabendo disso, e tendo uma solução particular
, podemos usar uma substituição para transformar essa equação em uma equação diferencial linear.
Passo 3
Vamos fazer a seguinte substituição:
Onde
é uma nova função que vamos determinar. Substituindo
, temos:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na equação original:
Vamos simplificar o lado direito da equação:
Então, temos:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Rearranjando termos:
Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é mais fácil de resolver.
Passo 6
Para resolver
, vamos encontrar o fator integrante. A equação está na forma padrão
, onde
e
. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, resolvendo para
:
Lembrando que
, substituímos
:
Resposta
A solução geral da Equação de Riccati dada é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes EDO(d)
.
Resolver esta EDO exata usando o método das EDO
Determine a solução Geral da Equação de Riccati, dada a solução particular
correspondente:
[
]
Resolva as seguintes EDO- (i)