Determine a solução Geral da Equação de Riccati, dada a solução particular correspondente:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma Equação de Riccati, que é um tipo específico de equação diferencial não linear de primeira ordem. A equação dada é:
E a gente já sabe uma solução particular dessa equação, que é . Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar usar uma técnica que transforma a Equação de Riccati em uma equação diferencial linear, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma Equação de Riccati. Ela tem a forma geral:
No nosso caso, como não temos dependência de (a equação é autônoma), podemos simplificar para:
Sabendo disso, e tendo uma solução particular , podemos usar uma substituição para transformar essa equação em uma equação diferencial linear.

Passo 3

Vamos fazer a seguinte substituição:
Onde é uma nova função que vamos determinar. Substituindo , temos:
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo e na equação original:
Vamos simplificar o lado direito da equação:
Então, temos:

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por para simplificar:
Rearranjando termos:
Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é mais fácil de resolver.

Passo 6

Para resolver , vamos encontrar o fator integrante. A equação está na forma padrão , onde e . O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação por :
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, resolvendo para :
Lembrando que , substituímos :

Resposta

A solução geral da Equação de Riccati dada é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Resolva as seguintes EDO(d) .
Resolver esta EDO exata usando o método das EDO
Determine a solução Geral da Equação de Riccati, dada a solução particular correspondente:
[
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Resolva as seguintes EDO- (i)