Resolva as seguintes equações do tipo Clairaut
- (a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação do tipo Clairaut pra resolver. Esse tipo de equação aparece em equações diferenciais e envolve a função e sua derivada. Aqui, a equação é:
Pra resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente as equações de Clairaut, que geralmente têm uma solução geral e possivelmente uma solução singular.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação pra facilitar. Vamos chamar
de
. Assim, a equação fica:
Passo 3
Nas equações de Clairaut, a solução geral é obtida tratando
como uma constante. Então, vamos isolá-lo. Para isso, reescrevemos a equação:
Isso significa que para cada valor de
, temos uma reta. A solução geral é a família de todas essas retas.
Passo 4
Agora, pra encontrar a solução singular, precisamos derivar a equação original em relação a
. Lembrando que
, e derivando ambos os lados:
Como
, substituímos:
Passo 5
Simplificando a equação:
Para que essa equação seja válida, ou
ou
.
Como já consideramos
na solução geral, focamos na outra parte:
Passo 6
Agora, substituímos
na equação original:
Resposta
A solução singular da equação é:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes EDO- (i)
Determine a solução Geral da Equação de Riccati, dada a solução particular
correspondente:
[
]
Resolva as seguintes EDO- (d)
Resolva as seguintes equações do tipo Clairaut
(d) .
(d)