Resolva as seguintes equações do tipo Clairaut
  • (a) y = x dy/dx + 28 - ln(dy/dx)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação do tipo Clairaut pra resolver. Esse tipo de equação aparece em equações diferenciais e envolve a função e sua derivada. Aqui, a equação é:
Pra resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente as equações de Clairaut, que geralmente têm uma solução geral e possivelmente uma solução singular.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação pra facilitar. Vamos chamar de . Assim, a equação fica:

Passo 3

Nas equações de Clairaut, a solução geral é obtida tratando como uma constante. Então, vamos isolá-lo. Para isso, reescrevemos a equação:
Isso significa que para cada valor de , temos uma reta. A solução geral é a família de todas essas retas.

Passo 4

Agora, pra encontrar a solução singular, precisamos derivar a equação original em relação a . Lembrando que , e derivando ambos os lados:
Como , substituímos:

Passo 5

Simplificando a equação:
Para que essa equação seja válida, ou ou .
Como já consideramos na solução geral, focamos na outra parte:

Passo 6

Agora, substituímos na equação original:

Resposta

A solução singular da equação é:

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