Resolva as seguintes EDO

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por com a condição inicial . Vamos usar conceitos de equações diferenciais, especificamente a Equação de Riccati, que tem a forma . Precisamos encontrar uma solução geral para essa EDO usando a condição inicial fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa Equação de Riccati:
Sabendo que já temos uma solução particular , podemos usar essa informação para simplificar a resolução.

Passo 3

A estratégia aqui é fazer uma substituição que transforma a Equação de Riccati em uma equação diferencial linear mais fácil de resolver. Vamos definir:
Substituindo , temos:
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Substituindo e na EDO original:
Vamos simplificar o lado direito da equação:
Agora a equação fica:

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar :
Agora, temos uma equação diferencial simples para .

Passo 6

Resolvendo , integramos ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 7

Lembrando que e , substituímos de volta:
Podemos reescrever a constante como para simplificar:

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante arbitrária determinada pela condição inicial.

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