Resolva as seguintes EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por
com a condição inicial
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais, especificamente a Equação de Riccati, que tem a forma
. Precisamos encontrar uma solução geral para essa EDO usando a condição inicial fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa Equação de Riccati:
Sabendo que já temos uma solução particular
, podemos usar essa informação para simplificar a resolução.
Passo 3
A estratégia aqui é fazer uma substituição que transforma a Equação de Riccati em uma equação diferencial linear mais fácil de resolver. Vamos definir:
Substituindo
, temos:
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Substituindo
e
na EDO original:
Vamos simplificar o lado direito da equação:
Agora a equação fica:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para isolar
:
Agora, temos uma equação diferencial simples para
.
Passo 6
Resolvendo
, integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Lembrando que
e
, substituímos de volta:
Podemos reescrever a constante
como
para simplificar:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante arbitrária determinada pela condição inicial.
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