Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.

Passo 1

Vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) para encontrar a solução geral. Para isso, vamos usar o método de equações exatas, que nos ajudará a encontrar uma função que satisfaça a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO na forma padrão . A equação fornecida é:
Podemos reorganizar para:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária de que aparece na integração.

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:

Passo 6

Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta na função potencial :

Resposta

A solução geral da EDO é:

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Determine a função inversa de cada uma das funções abaixo, atentando para os domínios e contradomínios:
Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
(a) . Determine Calcule .