Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
Vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) para encontrar a solução geral. Para isso, vamos usar o método de equações exatas, que nos ajudará a encontrar uma função que satisfaça a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO na forma padrão
. A equação fornecida é:
Podemos reorganizar para:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
que aparece na integração.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Substituindo
de volta na função potencial
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Determine a função inversa de cada uma das funções abaixo, atentando para os domínios e contradomínios:
Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
(a)
. Determine Calcule
.