Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do primeiro grau aqui:
com uma condição inicial
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação e, usando a condição inicial, achar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Dividindo os dois lados da equação original por
(já que
):
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que facilita a resolução da EDO. O fator integrante
é dado por:
Calculando:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso nos permite reescrever o lado esquerdo como a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para encontrar
, isolamos na equação:
Simplificando:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Calculando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Resposta
A solução particular da EDO é:
Exercícios relacionados
Determine a função inversa de cada uma das funções abaixo, atentando para os domínios e contradomínios:
Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.