Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do primeiro grau aqui:
com uma condição inicial . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação e, usando a condição inicial, achar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Dividindo os dois lados da equação original por (já que ):
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que facilita a resolução da EDO. O fator integrante é dado por:
Calculando:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso nos permite reescrever o lado esquerdo como a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar , isolamos na equação:
Simplificando:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :
Calculando:
Subtraindo de ambos os lados:

Resposta

A solução particular da EDO é:

Exercícios relacionados

Determine a função inversa de cada uma das funções abaixo, atentando para os domínios e contradomínios:
Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.