Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral, e se houver condições iniciais, também a solução particular. A equação que temos é:
Vamos precisar saber sobre equações diferenciais exatas e, se necessário, encontrar um fator integrante para torná-la exata. Então, vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Ela está na forma:
Onde:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Derivando em relação a
:
Passo 6
Comparando
e
:
Vemos que elas são iguais! Isso significa que a equação é exata.
Passo 7
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
.
Passo 8
Integrando
em relação a
:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 9
Vamos considerar cada termo da integral separadamente:
Lembrando que
é tratado como constante em relação a
.
Passo 10
Resolvendo a primeira integral:
Usando a técnica de integração por partes duas vezes, encontramos:
Passo 11
Resolvendo a segunda integral:
Aplicando integração por partes:
Passo 12
Resolvendo a terceira integral:
Passo 13
Somando todas as integrais:
Simplificando os termos:
Passo 14
Agora, vamos encontrar
utilizando a segunda condição
:
Comparando com
:
Isso nos mostra que
, então
é uma constante. Podemos chamar essa constante de
.
Passo 15
Assim, a função potencial é:
A solução geral da EDO é onde
. Podemos escrever:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real.
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Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
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(a)
. Determine Calcule
.
Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.