Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral, e se houver condições iniciais, também a solução particular. A equação que temos é:
Vamos precisar saber sobre equações diferenciais exatas e, se necessário, encontrar um fator integrante para torná-la exata. Então, vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Ela está na forma:
Onde:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular :
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Derivando em relação a :

Passo 6

Comparando e :
Vemos que elas são iguais! Isso significa que a equação é exata.

Passo 7

Como a equação é exata, existe uma função potencial tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a .

Passo 8

Integrando em relação a :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 9

Vamos considerar cada termo da integral separadamente:
Lembrando que é tratado como constante em relação a .

Passo 10

Resolvendo a primeira integral:
Usando a técnica de integração por partes duas vezes, encontramos:

Passo 11

Resolvendo a segunda integral:
Aplicando integração por partes:

Passo 12

Resolvendo a terceira integral:

Passo 13

Somando todas as integrais:
Simplificando os termos:

Passo 14

Agora, vamos encontrar utilizando a segunda condição :
Comparando com :
Isso nos mostra que , então é uma constante. Podemos chamar essa constante de .

Passo 15

Assim, a função potencial é:
A solução geral da EDO é onde . Podemos escrever:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real.

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(a) . Determine Calcule .
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