Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
Primeiro, vamos olhar para o que a questão está pedindo. Temos que resolver a seguinte Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Isso significa que queremos encontrar uma relação entre
e
que satisfaça essa equação. Para resolver isso, vamos usar técnicas de separação de variáveis, que nos ajudam a organizar a equação de forma que possamos integrar ambos os lados.
Passo 2
Vamos começar rearranjando a equação para separar
e
de um lado, e
e
do outro. Dividindo ambos os lados por
e por
, temos:
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Dessa forma, conseguimos separar as variáveis.
Passo 3
Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar funções cujas derivadas sejam os termos que temos.
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:
Passo 4
Agora, igualamos as integrais encontradas:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 5
Vamos resolver para
para obter a solução geral. Primeiro, usamos propriedades dos logaritmos para simplificar:
Agora, aplicamos a função exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Como
é apenas uma constante (vamos chamar de
), a solução geral fica:
Resposta
A solução geral da EDO
é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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(a)
. Determine Calcule
.
Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
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