Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.

Passo 1

Primeiro, vamos olhar para o que a questão está pedindo. Temos que resolver a seguinte Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Isso significa que queremos encontrar uma relação entre e que satisfaça essa equação. Para resolver isso, vamos usar técnicas de separação de variáveis, que nos ajudam a organizar a equação de forma que possamos integrar ambos os lados.

Passo 2

Vamos começar rearranjando a equação para separar e de um lado, e e do outro. Dividindo ambos os lados por e por , temos:
Agora, dividimos ambos os lados por :
Dessa forma, conseguimos separar as variáveis.

Passo 3

Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar funções cujas derivadas sejam os termos que temos.
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:

Passo 4

Agora, igualamos as integrais encontradas:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Passo 5

Vamos resolver para para obter a solução geral. Primeiro, usamos propriedades dos logaritmos para simplificar:
Agora, aplicamos a função exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Como é apenas uma constante (vamos chamar de ), a solução geral fica:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é uma constante arbitrária.

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(a) . Determine Calcule .
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