Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é a seguinte:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a rearranjar a equação de forma que todas as expressões com fiquem de um lado e as com do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e :
Para separar, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Agora, temos todos os termos com de um lado e os com do outro, prontos para serem integrados.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação. Começando pelo lado esquerdo:
Sabemos que . A integral de em relação a é . Aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos integrar o lado direito:
Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Calculando as integrais:

Passo 5

Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Passo 6

Para simplificar a expressão, podemos multiplicar todos os termos por 2:
Onde ainda é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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Calcule o domínio de .
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