Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é a seguinte:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a rearranjar a equação de forma que todas as expressões com
fiquem de um lado e as com
do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
:
Para separar, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Agora, temos todos os termos com
de um lado e os com
do outro, prontos para serem integrados.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação. Começando pelo lado esquerdo:
Sabemos que
. A integral de
em relação a
é
. Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos integrar o lado direito:
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Calculando as integrais:
Passo 5
Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 6
Para simplificar a expressão, podemos multiplicar todos os termos por 2:
Onde
ainda é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
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Descreva o domínio de
em palavras.
Calcule o domínio de .
Calcule o domínio de
Descreva o domínio de
em palavras.
Calcule o domínio de .
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