Resolva as seguintes EDOs exatas. (x^3 + x y^2 - 1) dx + (x^2 + y^2) y dy = 0

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) exata dada por . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente o estudo de EDOs exatas. Para resolver, precisamos encontrar uma função potencial cuja derivada total corresponda aos termos da EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a EDO é exata. Uma EDO da forma é exata se . Vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 3

Calculando onde :

Passo 4

Calculando onde :

Passo 5

Como , a EDO é exata. Agora, vamos encontrar a função potencial tal que e .

Passo 6

Integrando em relação a para obter :
onde é uma função de que surge da integração.

Passo 7

Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Igualando a :
Então,
Integrando:

Passo 8

Substituindo em :

Passo 9

A solução geral da EDO é , então:

Resposta

A solução geral da EDO é .

Exercícios relacionados