Resolva com as oportunas substituições as seguintes EDOs homogêneas. y' = y/x + e^(y/x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que o enunciado nos deu:
Aqui, estamos lidando com EDOs homogêneas. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai precisar fazer uma substituição que simplifica a relação entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para transformar a EDO em algo mais fácil de resolver. Vamos definir:
Isso significa que . Essa substituição é útil porque transforma a equação original em termos de uma única variável , simplificando o problema.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a usando a regra do produto, já que :
Aqui, é uma função de , então precisamos usar a derivada do produto.

Passo 4

Vamos substituir e na equação original com as expressões que encontramos:
Perceba que e .

Passo 5

Simplificando a equação, podemos cancelar o termo de ambos os lados:
Agora, temos uma equação diferencial mais simples com as variáveis separáveis.

Passo 6

Vamos separar as variáveis e :
Agora, integramos ambos os lados para encontrar a solução geral.

Passo 7

Integrando ambos os lados:
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração. Agora, substituímos de volta:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é a constante de integração.

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