Resolva com as oportunas substituições as seguintes EDOs homogêneas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que o enunciado nos deu:
Aqui, estamos lidando com EDOs homogêneas. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai precisar fazer uma substituição que simplifica a relação entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para transformar a EDO em algo mais fácil de resolver. Vamos definir:
Isso significa que
. Essa substituição é útil porque transforma a equação original em termos de uma única variável
, simplificando o problema.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
usando a regra do produto, já que
:
Aqui,
é uma função de
, então precisamos usar a derivada do produto.
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação original com as expressões que encontramos:
Perceba que
e
.
Passo 5
Simplificando a equação, podemos cancelar o termo
de ambos os lados:
Agora, temos uma equação diferencial mais simples com as variáveis separáveis.
Passo 6
Vamos separar as variáveis
e
:
Agora, integramos ambos os lados para encontrar a solução geral.
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração. Agora, substituímos
de volta:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é a constante de integração.