Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de primeira ordem:
(d) y' = (y^2 + 2xy) / x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada: . Esse tipo de equação é chamado de equação diferencial homogênea de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifica a equação, tornando-a mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se os termos do numerador e do denominador têm o mesmo grau. Aqui, no numerador temos (grau 2) e (grau 2), e no denominador temos (grau 2). Como todos os termos têm o mesmo grau, a equação é homogênea.

Passo 3

Agora, fazemos uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir . Isso significa que . Nosso objetivo é expressar a equação em termos de e .

Passo 4

Calculamos a derivada de em relação a . Se , então:
onde é a derivada de em relação a .

Passo 5

Substituímos e na equação original:
Simplificando o lado direito:

Passo 6

Rearranjamos a equação para isolar :

Passo 7

Agora, temos uma equação separável:
Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, decompomos o lado esquerdo em frações parciais.

Passo 8

Decompomos:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , escolhemos valores de :
  • Quando :
  • Quando :

Passo 9

Substituímos de volta na integral:
Integrando ambos os lados:
onde é a constante de integração.

Passo 10

Simplificamos a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Exponenciando ambos os lados:
onde é uma nova constante.

Passo 11

Substituímos de volta:
Simplificando:

Passo 12

Podemos reescrever a constante como para simplificar:
Esta é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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