Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de primeira ordem:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
. Esse tipo de equação é chamado de equação diferencial homogênea de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifica a equação, tornando-a mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se os termos do numerador e do denominador têm o mesmo grau. Aqui, no numerador temos
(grau 2) e
(grau 2), e no denominador temos
(grau 2). Como todos os termos têm o mesmo grau, a equação é homogênea.
Passo 3
Agora, fazemos uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir
. Isso significa que
. Nosso objetivo é expressar a equação em termos de
e
.
Passo 4
Calculamos a derivada de
em relação a
. Se
, então:
onde
é a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando o lado direito:
Passo 6
Rearranjamos a equação para isolar
:
Passo 7
Agora, temos uma equação separável:
Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, decompomos o lado esquerdo em frações parciais.
Passo 8
Decompomos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, escolhemos valores de
:
- Quando
: → - Quando
: →
Passo 9
Substituímos de volta na integral:
Integrando ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 10
Simplificamos a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Exponenciando ambos os lados:
onde
é uma nova constante.
Passo 11
Substituímos
de volta:
Simplificando:
Passo 12
Podemos reescrever a constante
como
para simplificar:
Esta é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.