Resolver usando o método dos coeficientes indeterminados (abordagem por superposição): y'' + 3y = -48x^2 e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados, também conhecido como abordagem por superposição. Isso faz parte da matéria de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução da equação homogênea e uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é . Para isso, a gente monta a equação característica associada:
Resolvendo para , temos:
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui, e são constantes que determinamos com condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , vamos supor uma solução da forma:
Aqui, , e são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos derivar uma vez para encontrar :
E derivar novamente para encontrar :

Passo 5

Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando:

Passo 6

Igualamos essa expressão ao lado direito da equação original :
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo e na terceira equação: .

Passo 8

Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a solução particular:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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