Resolver usando o método dos coeficientes indeterminados (abordagem por superposição):
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados, também conhecido como abordagem por superposição. Isso faz parte da matéria de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução da equação homogênea e uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é . Para isso, a gente monta a equação característica associada:
Resolvendo para , temos:
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui, e são constantes que determinamos com condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , vamos supor uma solução da forma:
Aqui, , e são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos derivar uma vez para encontrar :
E derivar novamente para encontrar :
Passo 5
Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Igualamos essa expressão ao lado direito da equação original :
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
De , temos .
Substituindo na segunda equação: .
Substituindo e na terceira equação: .
Passo 8
Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a solução particular:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular :