Resolver usando o método da variação dos parâmetros: y'' + y = sec(x) tg(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para isso, vamos precisar primeiro achar a solução da equação homogênea associada ( ) e depois encontrar uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea . A equação característica é , que tem raízes complexas . Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que determinamos com as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa usando o método da variação dos parâmetros. A ideia é procurar uma solução da forma:
Onde e são funções que vamos determinar.

Passo 4

Para encontrar e , usamos as seguintes fórmulas:
onde , , , e W é o Wronskiano, que para essas soluções homogêneas é:

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula dos :

Passo 6

Agora, integramos e para encontrar e :
Aqui, descartamos a constante de integração porque ela será absorvida na solução geral. Então:
Novamente, descartamos a constante:

Passo 7

Substituímos e na expressão da solução particular:
Simplificando:
Como :

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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