Resolver usando o método da variação dos parâmetros:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
usando o método da variação dos parâmetros. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para isso, vamos precisar primeiro achar a solução da equação homogênea associada (
) e depois encontrar uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea
. A equação característica é
, que tem raízes complexas
. Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que determinamos com as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa usando o método da variação dos parâmetros. A ideia é procurar uma solução da forma:
Onde
e
são funções que vamos determinar.
Passo 4
Para encontrar
e
, usamos as seguintes fórmulas:
onde
,
,
, e
é o Wronskiano, que para essas soluções homogêneas é:
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula dos
:
Passo 6
Agora, integramos
e
para encontrar
e
:
Aqui, descartamos a constante de integração porque ela será absorvida na solução geral. Então:
Novamente, descartamos a constante:
Passo 7
Substituímos
e
na expressão da solução particular:
Simplificando:
Como
:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.