Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, pessoal! A gente tem aqui uma equação diferencial de primeira ordem bem clássica:
. Vamos resolver essa equação linear de primeira ordem. Para isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. A equação está na forma padrão:
Aqui,
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada em toda a equação, facilita sua resolução.
Passo 3
O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Ignoramos a constante
porque ela será cancelada na multiplicação. Então:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando os termos:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de
.
Passo 5
Assim, podemos reescrever a equação como:
Para encontrar
, integramos ambos os lados em relação a
:
Calculando a integral:
Passo 6
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.