Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(h) y' + y cotg(x) = 4 x^2 cosec(x)

Passo 1

Beleza, pessoal! A gente tem aqui uma equação diferencial de primeira ordem bem clássica: . Vamos resolver essa equação linear de primeira ordem. Para isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. A equação está na forma padrão:
Aqui, e . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada em toda a equação, facilita sua resolução.

Passo 3

O fator integrante é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Ignoramos a constante porque ela será cancelada na multiplicação. Então:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando os termos:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de .

Passo 5

Assim, podemos reescrever a equação como:
Para encontrar , integramos ambos os lados em relação a :
Calculando a integral:

Passo 6

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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